Якобиан - definizione. Che cos'è Якобиан
Diclib.com
Dizionario ChatGPT
Inserisci una parola o una frase in qualsiasi lingua 👆
Lingua:

Traduzione e analisi delle parole tramite l'intelligenza artificiale ChatGPT

In questa pagina puoi ottenere un'analisi dettagliata di una parola o frase, prodotta utilizzando la migliore tecnologia di intelligenza artificiale fino ad oggi:

  • come viene usata la parola
  • frequenza di utilizzo
  • è usato più spesso nel discorso orale o scritto
  • opzioni di traduzione delle parole
  • esempi di utilizzo (varie frasi con traduzione)
  • etimologia

Cosa (chi) è Якобиан - definizione

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ ЯКОБИ
Якобиан отображения; Определитель Якоби; Функциональный определитель

Якобиан         

функциональный определитель ∣aik1n с элементами , где yi = fi (X1,..., Xn), l ≤ i ≤ n, - функции, имеющие непрерывные частные производные в некоторой области А; обозначение:

.

Введён К. Якоби (1833, 1841). Если, например, n = 2, то система функций

y1 = f1 (. x1, x2), y2 = f2 (x1, x2) (1)

задаёт отображение области Δ, лежащей на плоскости x1, x2, на часть плоскости y1, y2. Роль Я. для этого отображения во многом аналогична роли производной для функции одной переменной. Например, абсолютное значение Я. в некоторой точке М равно коэффициенту искажения площадей в этой точке (т. е. пределу отношения площади образа окрестности точки М к площади самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю). Я. в точке М положителен, если отображение (1) не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае. Если Я. не обращается в нуль в области Δ и φ (y1, у2) - функция, заданная в области Δ1 (образе Δ), то

(формула замены переменных в двойном интеграле). Аналогичная формула имеет место для кратных интегралов (См. Кратный интеграл). Если Я. отображения (1) не обращается в нуль в области Д, то существует обратное отображение

x1 = φ1 (y1, y2), x1 = φ2(y1, y2),

причём

(аналог формулы дифференцирования обратной функции). Это утверждение находит многочисленные применения в теории неявных функций (См. Неявные функции). Для возможности явного выражения в окрестности точки М (x1(0),..., xn (0, y1(0),..., ym (0)) функций y1,..., ут, неявно заданных уравнениями Fk (x1,..., xn, y1,..., ум) = 0, (2)

1 ≤ k ≤ m,

достаточно, чтобы координаты точки М удовлетворяли уравнениям (2), функции Fk имели непрерывные частные производные и Я.

был отличен от нуля в точке М.

Лит.: Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 2, М., 1973; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.

Функциональный определитель         

определитель, элементами которого являются функции одного или многих переменных. Наиболее важные примеры Ф. о. - Вронскиан, играющий важную роль в теории линейных дифференциальных уравнений высшего порядка, гессиан, применяемый в теории алгебраических кривых, и Якобиан, используемый при преобразовании кратных интегралов, установлении независимости системы функций и др. вопросах теории функций многих переменных. Производная Ф. о. D (x) = |aik (x)| n-го порядка равна сумме n Ф. о., матрицы которых получаются из матрицы ||aik (x)|| соответственно дифференцированием элементов первого, второго,..., n-го столбца. Например, если

,

то

.

Иногда термин "Ф. о." применяется для обозначения якобиана.

Матрица Якоби         
Матрица Яко́би отображения \mathbf{u}\colon\R^n\to\R^m в точке x\in \R^n описывает главную линейную часть произвольного отображения \mathbf{u} в точке x.

Wikipedia

Якобиан

Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определённое обобщение производной функции одной переменной на случай отображений из евклидова пространства в себя.

Якобиан выражается как определитель матрицы Якоби — матрицы, составленной из частных производных отображения.

Якобиан отображения f {\displaystyle f} в точке x {\displaystyle x} обычно обозначается J a c x f {\displaystyle \mathop {\rm {Jac}} _{x}f} , иногда также следующим образом:

D ( f 1 , , f n ) D ( x 1 , , x n ) {\displaystyle {\frac {D(f_{1},\dots ,f_{n})}{D(x_{1},\dots ,x_{n})}}} ,или ( f 1 , , f n ) ( x 1 , , x n ) {\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},\dots ,f_{n})}{\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}}}

Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель. По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю.

Введён Якоби (1833, 1841).